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NUMEROS COMPLEJOS

1-Diofanto (275 d.c): es un matemático que construyó un triángulo con una cuerda en la que había
realizado 12 nudos (equidistantes). Los lados medían 3,4 y 5 unidades. El triángulo es rectángulo, cumple
el teorema de Pitágoras: 32 + 42 = 52 . El área es de 6 unidades. Con la misma cuerda trató de construir
otro triángulo rectángulo de forma que su área fuese 7. Su planteo fue: un cateto mediría x; la hipotenusa
debe cumplir el teorema de Pitágoras: x2 + (14/x) 2 = h2

Por otra parte, la suma de sus lados debe ser 12: x+14/x+h= 12

Por tanto se debe cumplir la ecuación: x2 +196/x2 = (12-x-14/x)2

Donde se llega a 6x2 -43x+84=0

43±√167−1
Cuya solución Diofanto expreso como 12

Pero no conocía ningún número que elevado al cuadrado fuese igual a-1, por tanto, el problema no tenía
solución. Este problema planteado por Diofanto tardaría siglos sin resolverse.

En el siglo XVI Rafaello Bombelli: admitió que era útil que los números negativos tuviesen raíces
cuadradas.

A mediados del Siglo XVI Gerolamo y Cardano (Filósofo y matemático) y sus contemporáneos
comenzaron a experimentar con soluciones de ecuaciones que incluían las raíces cuadradas de números
negativos. Por ejemplo: Cardano sugirió que el número real 40 se puede expresar como

(5+√−15)*(5-√−15)

En 1777, Leonhard Euler (1707-1783): matemático suizo, simbolizó la raíz cuadrada de -1 con la letra i
(por imaginario).

Kaspar Wessel: dio una explicación de raíz cuadrada de -1.

Basta suponer un triángulo ABC isósceles en A, situado sobre unos ejes de coordenadas. Aplicando el

teorema de la altura:

Esta idea sugerida por Jean-Robert Argand, fue utilizada por Carl Friedrich Gauss para dar la
interpretación geométrica de los números complejos. Gauss, en su tesis doctoral de 1799, demostró su
teorema fundamental del Algebra, que dice “que todo polinomio con coeficientes complejos tienen al
menos una raíz compleja”.

la cual es que poseen un parte que no está definida en los números reales. que como no existe en la matemática es imaginaria. Además cada número complejo puede escribirse como un par ordenado (a. A este número se lo llama unidad imaginaria (i). que es la parte imaginaria. los cuales poseen una parte real y una parte imaginaria. Las operaciones son: Suma: para sumar los números complejos basta con sumar sus partes reales y sus partes imaginarias: Z1 = a+bi Z2 = c+di ↔ Z1+Z2 = (a+c) + (b+d)i. 4. pero tiene una particularidad especial. se expresa de la siguiente manera: Z= a+bi. En el trabajo con números complejos también se dan las operaciones básicas. Propiedad de i: i 2 = (0.1)= (0-1. 3. El número “i” corresponde a la raíz de -1. no existe ningún número real que verifique la relación x2 +1= 0. Agustín L. Forman un cuerpo algebraicamente cerrado. en la forma compleja se escribe como (1. Se consideran como puntos del plano: el plano complejo o una propiedad importante en el teorema fundamental del algebra: afirma que cualquier ecuación algebraica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas. Resta: se restan las partes reales y las imaginarias: Z1 = a+bi Z2 = c+di ↔ Z1-Z2 = (a-c) + (b-d) i .En 1825.0)= -1 donde i = √−1. 0+0)= (-1. Los números complejos: son un conjunto de número. donde Z corresponde a un número complejo. R: los números reales no es un cuerpo algebraicamente cerrado. Incluye todas las raíces de los polinomios. donde (a+c) es la parte real del numero complejo y (b+d) su parte imaginaria.b). definidas de funciones reales para funciones de variable compleja. es decir. es decir.1) (0. “a” corresponde a la parte real y “b” corresponde a la parte imaginaria. Cauchy: generalizó el concepto de “integrales”. Son una extensión de los números reales. construimos los demás números reales a partir de este. C= poseen un cuerpo algebraicamente cerrado. La unidad imaginaria no pertenece a R. 2-El numero imaginario o unidad imaginaria i: significa que el número 1 es la unidad en los números reales.0).

el opuesto es simétrico respecto del origen. La forma más fácil de expresar un número complejo es usando la forma cartesiana de un caso particular es: (2. se llaman conjugados. hay que tener en cuenta que i2 = -1. y la multiplicación de los números complejos se expresa usando coordenadas polares. (-1) * (-1)= +1 puede ser entendido geométricamente como la combinación de 2 rotaciones de 180°. el opuesto de un número es simétrico respecto del eje de las abscisas. Los números complejos Z=a+bi y Z=a-bi. Los números complejos se pueden relacionar con la suma. con los vectores. División: para dividir los números complejos es necesario que en el denominador no exista una parte compleja. por lo tanto lo que se realizan es amplificar la fracción por el conjugado del número complejo que se encuentra en el denominador para de esa manera crear una suma por su diferencia: (𝑎+𝑏𝑖) (𝑎+𝑏𝑖) (𝑐+𝑑𝑖) (𝑐+𝑑𝑖) = (𝑐+𝑑𝑖) *(𝑐+𝑑𝑖) (𝑎+𝑏𝑖) (𝑎𝑐+𝑎𝑑𝑖+𝑏𝑐𝑖−𝑏𝑑) Amplificación: = (𝑐+𝑑𝑖) (𝑐 2 −𝑑𝑖 2 ) (𝑎+𝑏𝑖) (𝑎𝑐−𝑏𝑑)+(𝑎𝑑+𝑏𝑐)𝑖 la expresión que queda es: (𝑐+𝑑𝑖) = (𝑐 2 +d) 5. Multiplicar cualquier complejo por i corresponde con una rotación de 90° en sentido anti horario. (a+c)*(b+di) = ac+aci+bci+bd (I ∧ 2). 7. 6. es decir.Multiplicación: para multiplicar los numero complejos se usa la propiedad distributiva de la multiplicación.4) en forma cartesiana y en forma binomica: Z=2+4i porque se utiliza para varias situaciones problemáticas de una forma mas satisfactoria. Los números complejos a+bi y –(a+bi) se llama opuestos. . es decir. La relación que existe en los números complejos y la geometría está dado por el concepto de Plano Complejo que permite interpretar geométricamente los números complejos.