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Guía de clase: Coordenadas Polares y Ecuaciones

Paramétricas
Giovanni Sanabria Brenes - UCR
Contenidos
1 Coordenadas Polares 2
1.1 Sistema de coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Relación entre las Coordenadas Polares y las Coordenadas Rectangulares . . . . . . . 3
1.3 Trazado de curvas en coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.1 Intersecciones con el eje polar y el eje a 90

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.2 Simetrías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.3 Extensión del lugar geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.4 Trazado de la gráfica de la curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Gráfica de una curva a partir de su ecuación polar en Geogebra . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Algunas gráficas de curvas importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6 Intersección de curvas dadas en coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.7 Distancia entre puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.8 Ecuación polar de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.9 Ecuación polar de la circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.10 Las cónicas en coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2 Ecuaciones paramétricas 29
2.1 Determinación de las ecuaciones paramétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2 Ecuación rectangular de una curva dada por sus ecuaciones paramétricas . . . . . . . 30
2.3 Gráfica de una curva a partir de sus ecuacione paramétricas . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3.1 Gráfica “a mano” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3.2 Gráfica en Geogebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4 Representación paramétrica de las cónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.5 Curvas especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3 Ejercicios 43
Geometría Análitica, UCR Giovanni Sanabria
1 Coordenadas Polares
1.1 Sistema de coordenadas polares
Se pretende definir un sistema de coordenadas para un plano, distinto al Sistema de Coordenadas
Rectangulares. Dado un plano π, seleccione un punto O que llamaremos polo o origen y considere
una semirrecta que tiene su origen en el polo, esta semirrecta la denominamos Eje Polar. Usualmente
en las representaciones de un Sistema de Coordenadas Polares, el eje polar se traza de forma horizontal:
Polo
Eje polar
O
Dado un punto P en el plano este se identifica con un par (r, θ) donde
r = OP
θ : es la medida del ángulo desde
−−→
OP al eje polar
Recuerde que si este ángulo se mide en dirección contraria a las manecillas del reloj, esta medida es
positiva, de lo contrario la medida es negativa..Además aceptamos el convenio de que si r es negativo,
significa que el rayo OP tiene dirección opuesta al lado final de θ :
θ
r
Polo
Eje polar
O
P
r positivo
θ
r
Polo
Eje polar
O
P
r negativo
El par (r, θ) son las coordenadas polares de P y este punto se puede denotar P (r, θ). La coordenada r
se llama radio vector de P y la coordenada θ es el ángulo polar, ángulo vectorial o argumento
de P. Por lo tanto, dado un par (r, θ) podemos encontrar un único punto P del plano que tenga esas
coordenadas y dado un punto P se puede hallar un par (r, θ) que corresponden a las coordenadas del
punto. Sin embargo, las coordenadas de P no son únicas, pues para todo k ∈ Z :
(r, θ) = (r, θ + 2πk) = (−r, θ +πk)
Así, existen infinitas maneras de dar las coordenadas polares de un punto P. Entonces, se define el
par principal de coordenadas de P con las coordenadas (r, θ) donde r > 0 y 0

≤ θ < 360

.
2
Geometría Análitica, UCR Giovanni Sanabria
Ejercicio 1 Trace los siguientes puntos en un sistema polar: A(1, 135

) , B
µ
−3,

3

.
Ejemplo 1 Mencione dos representaciones polares distintas para el punto P
µ
3,

3

.
Algunas representaciones son:
µ
−3,

3

,
µ
3,

3

,
µ
−3,
−π
3

.
Ejercicio 2 Mencione dos representaciones polares distintas para el punto P (3, −50

) .
1.2 Relación entre las Coordenadas Polares y las Coordenadas Rectangu-
lares
Teorema 1 Suponga que el polo y el eje polar del sistema de coordenadas polares, coincide, respecti-
vamente, con el origen y la parte positiva del eje X de un sistema de coordenadas rectangulares. Si
un punto P tiene coordenadas rectangulares (x, y) y coordenadas polares (r, θ) entonces las fórmulas
de transformación entre los sistemas son:
x = r cos θ, y = r senθ, x
2
+y
2
= r
2
,
tanθ =
y
x
, r = ±
p
x
2
+y
2
,
Prueba. Sea A(x, 0) . Consideremos el siguiente dibujo de referencia
y
x
r
θ
r
Polo
Eje polar A
O
P(x,y)
Note que
r
2
= x
2
+y
2
, ]AOP = θ
r
donde θ
r
es el ángulo de referencia de θ, entonces
senθ = sgn(senθ) sen(θ
r
) = sgn(senθ)
|y|
|r|
= sgn(senθ) sgn(y)
y
|r|
.
3
Geometría Análitica, UCR Giovanni Sanabria
Si r > 0 entonces sgn(senθ) = sgn(y) y así
senθ =
y
r
=⇒y = r senθ.
Si r < 0 entonces sgn(senθ) = . −sgn(y) y así
senθ = −
y
−r
=⇒y = r senθ.
Similarmente x = r cos θ. Como y = r senθ, x = r cos θ entonces
y
x
=
r senθ
r cos θ
= tanθ.
Obteniendo el resultado. ¥
Ejemplo 2 Hallar las coordenadas rectangulares del punto P cuyas coordenadas polares son (−2, 330

) .
x = r cos θ = −2 · cos (330

) = −2 · cos (30

) = −2 ·

3
2
= −

3.
y = r sinθ = −2 · sin(330

) = −2 · −sin(30

) = −2 · −
1
2
= 1
Las coordenadas rectangulares del punto P son
¡


3, 1
¢
.
Ejemplo 3 Mencione dos representaciones polares distintas para el punto en coordenadas rectangu-
lares P
¡
2,

12
¢
Hallemos las coordenadas del par principal, se tiene que r =

4 + 12 = 4 y
tanθ =

12
2
=

3
Como el punto P se encuentra en el primer cuadrante entonces θ = 60

. Algunas representaciones de
P son
(4, 60

) , (−4, 300

) .
Ejemplo 4 Dada la ecuación rectangular 3x
2
+ 4y
2
−36 = 0.
1. Hallar la ecuación polar del lugar geométrico determinado por la ecuación rectangular dada.
La ecuación polar es
3 (r cos θ)
2
+ 4 (r sinθ)
2
−36 = 0 =⇒r
2
¡
3 cos
2
θ + 4 sin
2
θ
¢
= 36
=⇒ r
2
¡
3 + sin
2
θ
¢
= 36 =⇒r
2
=
36
3 + sin
2
θ
.
2. Determinar las coordenadas rectangulares de un punto del lugar geométrico que este a una dis-
tancia 3 del origen.
9 =
36
3 + sin
2
θ
=⇒3 + sin
2
θ = 4 =⇒sinθ = ±1
Si sinθ = 1, el par principal de uno de los puntos es (3, 90

) El punto (3, 90

) , en coordenadas
rectangulares es (0, 3) .
4
Geometría Análitica, UCR Giovanni Sanabria
Ejemplo 5 Determine la ecuación rectangular del lugar geométrico cuya ecuación polar es r +r
2
=
sec θ.
Debido a que dicha ecuación es equivalente a
(r + 1) r =
1
cos θ
=⇒(r + 1) r cos θ = 1,
La ecuación rectangular es
³
±
p
x
2
+y
2
+ 1
´
x = 1, que es equivalente a x
2
+y
2
=
µ
1
x
−1

2
.
Ejercicio 3 Hallar las coordenadas rectangulares del punto P cuyas coordenadas polares son (−2, 150

) .
R/
¡√
3, −1
¢
Ejercicio 4 Mencione dos representaciones polares distintas para el punto en coordenadas rectangu-
lares P
¡
−2

3, 2

3
¢
R/
¡
135

, 2

6
¢
Ejercicio 5 Dada la ecuación polar r =
6
3 + sinθ
de un lugar geométrico C.
1. Determine la ecuación rectangular del lugar geométrico e identifiquélo.R/ 9x
2
+8y
2
+12y −36
2. Determine las coordenadas rectángulares del punto P del lugar geométrico ubicado en el eje Y
positivo utilizando la ecuación polar. R/
µ
0,
3
4

.
1.3 Trazado de curvas en coordenadas polares
1.3.1 Intersecciones con el eje polar y el eje a 90

El polo se encuentra en la curva si existe al menos un valor de θ para el cual (0, θ) satisface la ecuación
de la curva. Para hallar otras intersecciones, note que:
1. La intersección con el eje polar distinta al polo se da en los puntos de la forma (r, nπ) con n ∈ Z
que satisfacen la ecuación.
2. La intersección con el eje a 90

distinta al polo se da en los puntos de la forma
³
r,

2
´
con
n ∈ Z impar que satisfacen la ecuación.
Ejemplo 6 Determine las intersección de la curva dada por
r
2
= 9 cos (2θ)
con el eje a 90

y el eje polar. R/ (3, 0

) , (−3, 0

) y (0, 45

)
Si r = 0 entonces
9 cos (2θ) = 0 =⇒cos (2θ) = 0
Esta ecuación se satisface en particular cuando θ = 45

, por lo tanto el polo está en la curva. Si
θ = nπ, entonces
r
2
= 9 cos (2nπ) = 9 =⇒r = ±3
5
Geometría Análitica, UCR Giovanni Sanabria
entonces el eje polar interseca a la curva en los puntos (3, 0

) , (−3, 0

) , estos se obtienen cuando
n = 0, para los demás valores de n se obtienen los mismos puntos. Si θ =

2
con n impar entonces
r
2
= 9 cos (nπ) = −9
por lo tanto no hay otros puntos de intersección con el eje de 90

. Note que el polo no tiene la
forma (r, nπ) o
³
r,

2
´
, por lo que se debe tratar como un caso especial a la hora de determinar las
intersecciones con los ejes.
Ejercicio 6 Determine las intersección de la curva dada por
r =
28
14 + 7 cos (θ)
con el eje a 90

y el eje polar. R/
µ
4
3
, 0


, (4, 180

) ,
¡
2, 90
0
¢
, (2, 270

) .
1.3.2 Simetrías
Considere la curva C dada por la ecuación r = f (θ) , dado que todo punto P (r, θ) no tiene coordenadas
polares únicas, pues P (r, θ) = P ((−1)
n
r, θ +nπ) con n ∈ N, entonces la ecuación de C es equivalente
a
(−1)
n
r = f (θ +nπ) , con n ∈ N.
Teorema 2 Dada la ecuación polar de una curva se tiene que
La curva es simétrica
con respecto a:
La ecuación polar no se altera o se
transforma en una equivalente si:
Eje polar
a) se sustituye θ por −θ
b) se sustituye θ por π −θ, y r por −r
Eje a 90

a) se sustituye θ por π −θ
b) se sustituye θ por −θ, y r por −r
polo
a) se sustituye θ por π +θ
b) se sustituye r por −r
Prueba. Se realizará la prueba para el Eje a 90

. Si la curva es simétrica con respecto al eje a 90

,
entonces para todo punto P (r, θ) de la curva existe un punto Q en la curva tal que el eje de 90

6
Geometría Análitica, UCR Giovanni Sanabria
es mediatriz de PQ :
Eje a 90°
θ
r
Polo
Eje polar
R
Q
O
P
Note que QR = RP y por LAL se tiene que ∆QRO

= ∆PRO, por lo tanto
|QO| = r, m]QOR = m]POR =
π
2
−θ
entonces las coordenadas de Q son (r, π −θ) ó (−r, −θ) . Como Q es un punto de la curva
satisface la ecuación. Entonces, si la curva es simétrica con respecto al eje a 90

entonces la
ecuación polar no se altera o se transforma en una equivalente si:
a) se sustituye θ por π −θ
b) se sustituye θ por −θ, y r por −r
Similarmente, si para todo punto P (r, θ) de la curva existe un punto Q de coordenadas (r, π −θ)
ó (−r, −θ) entonces se tiene que P y Q son simétricos respecto al eje polar. Por lo tanto, la
curva es simétrica con respecto al eje a 90

. ¥
Ejemplo 7 Determine las simetrías con respecto al eje polar, al eje a 90

y al polo, de la curva dada
por
r
2
= 9 cos (2θ)
1. Con el eje polar. Si se cambia θ por −θ se obtiene
r
2
= 9 cos (−2θ) =⇒r
2
= 9 cos (2θ)
pues la función coseno es una función par. La curva es simétrica respecto al eje polar.
2. Con el eje a 90

. Si se sustituye θ por −θ, y r por −r se obtiene la misma ecuación, La curva
es simétrica respecto al eje a 90

.
3. Con el polo. Si se sustituye r por −r se obtiene la misma ecuación, La curva es simétrica
respecto al polo.
7
Geometría Análitica, UCR Giovanni Sanabria
Ejemplo 8 Determine las simetrías con respecto al eje polar, al eje a 90

y al polo, de la curva dada
por
r = 3
1. Con el eje polar. Si se cambia θ por −θ se obtiene la misma ecuación, pues carece de θ. La
curva es simétrica respecto al eje polar.
2. Con el eje a 90

. Si se sustituye θ por −θ, y r por −r se obtiene
−r = 3 =⇒r = −3
que es equivalente a la ecuación dada, La curva es simétrica respecto al eje a 90

.
3. Con el polo. Si se sustituye r por −r se obtiene una ecuación equivalente a la ecuación dada.
La curva es simétrica respecto al polo.
Ejercicio 7 Determine las simetrías con respecto al eje polar, al eje a 90

y al polo, de la curva dada
por r =
28
14 + 7 cos (θ)
R/ Eje polar
1.3.3 Extensión del lugar geométrico
Dada la ecuación polar del lugar geométrico de la forma
r = f (θ)
si r es finito para todos los valores de θ, se dice que la curva es cerrada. Para los valores de θ que
hacen que r / ∈ R no hay curva. Si la curva es cerrada se puede considerar que variación de θ, según
su simetría, se utiliza en la graficación de la curva. Por ejemplo, si hay simetría en el eje a 90

y la
curva es cerrada fácilmente se puede deducir la variación θ : −
π
2
≤ θ ≤
π
2
para la construcción de la
gráfica de la curva.
Ejemplo 9 Determine la extensión de la curva dada por
r
2
= 9 cos (2θ)
En este caso, note que
−1 ≤ cos (2θ) ≤ 1 =⇒−9 ≤ 9 cos (2θ)
| {z }
r
2
≤ 9 =⇒0 ≤ r
2
≤ 9
pues r
2
es positivo, sacando raíz a cada lado se obtiene que
0 ≤ |r| ≤ 3 =⇒−3 ≤ r ≤ 3
Por lo tanto la curva es cerrada y dado que tiene todas las simetrías, basta considerar la variación de
θ : 0

≤ θ ≤ 90

para su graficación. Por otro lado no hay curva para valores de θ para los cuales
cos (2θ) < 0
Si 90

< 2θ < 270

=⇒ 45

< θ < 135

se tiene que cos (2θ) < 0. Por lo tanto, basta considerar la
variación de θ : 0

≤ θ ≤ 45

para su graficación.
Ejercicio 8 Determine la extensión de la curva dada por r =
28
14 + 7 cos (θ)
R/
£
4
3
, 4
¤
8
Geometría Análitica, UCR Giovanni Sanabria
1.3.4 Trazado de la gráfica de la curva
La construcción del lugar geométrico de una ecuación polar seguirá los siguientes pasos:
1. Hallar las intersecciones con el eje polar y con el eje a 90

2. Determinar si la curva es simétrica con respecto: al eje polar, al eje a 90

y al polo.
3. Estudiar las extensión de la curva.
4. Cálculo de las coordenadas de algunos puntos, consideran las simétrias y la extensión de la curva.
5. Trazado de la gráfica.
Ejemplo 10 Trace la curva cuya ecuación es
r
2
= 9 cos (2θ)
Por ejemplos anteriores:
1. Intersecciones con el eje polar y con el eje a 90

: (3, 0

) , (−3, 0

) y el polo.
2. La curva es simétrica con respecto: al eje polar, al eje a 90

y al polo.
3. Extensión de la curva. La curva es cerrada pues
−3 ≤ r ≤ 3
Si 45

< θ < 135

no hay curva. Por las simetrías, basta considerar la variación de θ : 0


θ ≤ 45

para su graficación.
Además:
4. Cálculo de las coordenadas de algunos puntos
θ cos (2θ) r = ±3
p
cos (2θ)
0

1 ±3
15


3
2
±3
r

3
2
≈ ±2. 791 81
30

1
2
±
3

2
≈ ±2. 121 32
45

0 0
5. Gráfica. Se colocan las intersecciones y los puntos aproximados: (3, 0

) , (2.79, 15

) , (2.12, 30

)
9
Geometría Análitica, UCR Giovanni Sanabria
y (0, 45

)
-3 -2 -1 1 2 3
-1.0
-0.5
0.5
1.0
x
y
Ejercicio 9 Trace la curva cuya ecuación es
r = 5 sen(3θ)
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-2
2
x
y
1.4 Gráfica de una curva a partir de su ecuación polar en Geogebra
Más adelante se estudiará con detalle las ecuaciones paramétricas de una curva plana. Sin embargo,
para obtener la gráfica de una curva dada por coordenadas polares, necestamos el concepto de ecua-
ciones paramétricas.
Dada una curva plana C, si existen dos funciones f y g, tales que las ecuaciones
½
x = f (t)
y = g (t)
, t ∈ D (2)
10
Geometría Análitica, UCR Giovanni Sanabria
brinde las coordenadas de un punto (x, y) de C para cada valor de t, y para cada punto P (x
0
, y
0
) de
C existe un t
0
∈ D tal que (x
0
, y
0
) = (f (t
0
) , g (t
0
)) . Se dice que las ecuaciones (2) representan a la
curva C, y se llaman ecuaciones paramétricas de C. La variable t recibe el nombre de parámetro
y D es el dominio de t. Si D no se indica, se supone es la intersección de los dominios máximos
D
f
∩ D
g
.
Ejemplo 11 Considere la curva dada por
½
x = 2 −t
y = 3 + 2t
Si t = 3, se obtiene que un punto de la curva es A(−1, 7)
Para gráfica la curva de ecuaciones paramétricas
½
x = f (t)
y = g (t)
, a ≤ t ≤ b
en Geogebra, se escribe en la entrada:
Curva[f (t) , g (t) , t, a, b]
Ejemplo 12 La curva dada por
½
x = 3 cos
3
θ
y = 2 senθ
, 0 ≤ θ ≤ 2π
se grafica en Geogebra escribiendo
Curva[3 (cos(t))
3
, 2 (sin(t))
3
, t, 0, 2 π]
Recuerde que dadas las coordenadas polares de un punto P (r, θ) sus coordenadas rectangulares son:
x = r cos θ, y = r senθ
Por lo tanto, dada una curva por su ecuación polar r = f (θ) , sus ecuaciones paramétricas son:
(
x = f (θ) cos θ
y = f (θ) senθ
, θ ∈ [a, b] .
Como sabemos graficar una curva a partir de sus ecuaciones paramétricas en Geogebra, utilizaremos
este hecho para graficar una curva en coordenadas polares. Lo primero que haremos es definir una
función f, por ejemplo, se escribe en la Entrada:
f(x) = 3 cos (2 x)
11
Geometría Análitica, UCR Giovanni Sanabria
y definimos los extremos del intervalo de graficación, escribiendo en la Entrada:
a = 0
b = 2 π
Luego, se gráfica la curva de ecuaciones paramétricas
(
x = f (t) cos t
y = f (t) sent
, t ∈ [a, b] .
para ello se escribe en la Entrada:
Curva[f (t) cos (t) , f (t) sin(t) , t, a, b]
Obteniendo
Ahora, se cuentan con los objetos para definir una nueva herramienta. En el menú Herramientas elige
12
Geometría Análitica, UCR Giovanni Sanabria
la opción “Creación de Herramienta Nueva” y se obtiene una ventana emergente:
Esta ventana se debe llenar como sigue:
1. En la pestaña “Objetos de Salida” seleccione la curva graficada (Curva c)
2. En la pestaña “Objetos de Entrada” seleccione la función f, el número a y el número b (Estos
aparecen ya seleccionadas por defecto)
3. En la pestaña “Nombre e Icono” indique como nombre de la herramienta y del comando “Polar”.
Si lo desea puede crear una imagen que sirva de icono a la nueva herramienta y cargarlo por
medio del botón Icono, o dejar el icono que viene cargado por defecto.
Luego se da clic en el botón Concluido para crear la nueva herramienta, la cuál aparecerá en el menú:
Para usar esta herramienta, se puede:
1. Oprimir el botón de la nueva herramienta y seleccionar con el mouse una función, un número y
un número.
13
Geometría Análitica, UCR Giovanni Sanabria
2. Escribir en la entrada
Polar[funci´ on, n´ umero, n´ umero]
Para poder utilizar esta herramienta en otros archivos, debemos guardarla con extensión GGT, para
ello seleccione “Gestión de Herramientas” del menú Herramientas, elige la herramienta Polar en la
ventana emergente y oprime “Guardar Como”. Puedes crear una carpeta de herramientas de Geogebra
y guardar la nueva herramienta en esa carpeta con nombre “polar.ggt”. Para utilizar esta herramienta
en un nuevo archivo creado, basta ir al menú a “Abre” del menú Archivo, buscar la herramienta y
abrirla.
Ejemplo 13 Para graficar Limazón con lazo dada por
r = 1 + 2 cos (θ)
Se escribe en Geogebra
Polar[1 + 2 cos (x) , 0, 2 π]
1.5 Algunas gráficas de curvas importantes
La gráfica de la curva de la forma
r = a sen(nθ) o r = a cos (nθ)
es llamada rosa o curva de pétalos. Si n es par, tiene 2n pétalos y si n impar tiene n pétalos.
14
Geometría Análitica, UCR Giovanni Sanabria
Ejemplo 14 Seguidamente se presentan algunas curvas de pétalos con las ecuaciones indicadas
x
y
r = 2 sin(2θ)
x
y
r = 2 cos (2θ)
x
y
r = 2 sin(5θ)
x
y
r = 2 cos (5θ)
La gráfica de la curva de la forma
r
2
= a sen(2θ) o r
2
= a cos (2θ)
es llamada lemniscata y tiene forma de ocho.
15
Geometría Análitica, UCR Giovanni Sanabria
Ejemplo 15 Algunas lemniscata son
x
y
r
2
= 3 cos (2θ)
x
y
r
2
= −3 cos (2θ)
x
y
r
2
= 3 sen(2θ)
x
y
r
2
= −3 sen(2θ)
La gráfica de la curva de la forma
r = a ±b sen(θ) o r = a ±b cos (θ)
es llamada limazon y su forma depende del valor de
¯
¯
¯
a
b
¯
¯
¯ :
Condición: 0 <
¯
¯
¯
a
b
¯
¯
¯ < 1
¯
¯
¯
a
b
¯
¯
¯ = 1 1 <
¯
¯
¯
a
b
¯
¯
¯ < 2
¯
¯
¯
a
b
¯
¯
¯ ≥ 2
Nombre:
Limazón con
lazo
Cardiode
Limazón con
hendidura
Limazón convexo
sin hendidura
16
Geometría Análitica, UCR Giovanni Sanabria
Ejemplo 16 Algunos limazon son:
Limazón con
lazo
x y
r = 2 −3 sen(θ)
x
y
r = 1 + 2 cos (θ)
Cardiode
x
y
r = 2 + 2 sen(θ)
x
y
r = 1 −cos (θ)
Limazón con
hendidura
x
y
r = 4 −3 sen(θ)
x
y
r = 5 + 3 cos (θ)
Limazón convexo
sin hendidura
x
y
r = −15 + 7 sen(θ)
x
y
r = 11 + 5 cos (θ)
Sea k ∈ R. La gráfica de la curva de la forma
r = kθ,
17
Geometría Análitica, UCR Giovanni Sanabria
es llamada Espiral de Arquímedes y la gráfica de la curva de la forma
r = ab

,
es llamada Espiral logarítmica.
Ejemplo 17 Las siguientes gráficas, representan una Espiral de Arquímedes y una Espiral Logarít-
mica respectivamente
1000
500
500
1000
1000 1000
r = −2θ
2
1
2 4
r = 3
µ
27
26


1.6 Intersección de curvas dadas en coordenadas polares
Dadas las ecuaciones polares de las curvas, sabemos que los puntos de intersección son aquellos que
satisfacen ambas ecuaciones. Sin embargo, dado la falta de unicidad de las coordenadas polares, puede
suceder que un punto P en la intersección, tiene unas coordenadas que satisfacen solo una ecuación
y otras coordenadas que satisface la otra ecuación. Pero el problema puede ser visto de la siguiente
forma: dadas las ecuaciones de dos curvas:
½
r = f (θ) (1)
r = g (θ) (2)
entonces un punto P (r, θ) en la intersección es aquel que satisface la ecuación (1) o una equivalente
a (1) , y la ecuación (2) o una equivalente a (2) .
El nuevo problema es ¿cómo hallar las ecuaciones equivalentes a una dada?. Recuerde que se utiliza
la fórmula
(−1)
n
r = f (θ +nπ) , con n ∈ N.
la cual brinda las ecuaciones equivalentes a la ecuación r = f (θ) .
Por lo tanto, para determinar los puntos de intersección de las curvas
½
r = f (θ) (1)
r = g (θ) (2)
18
Geometría Análitica, UCR Giovanni Sanabria
Se debe:
1. Determine si el polo se encuentra en la intersección.
2. Hallar las ecuaciones equivalentes a cada una de las ecuaciones.
3. Resolver cada uno de los sistemas formado por: (1) o su equivalente, y (2) o su equivalente. Así,
se obtienen las coordenadas de los puntos de intersección.
4. Dar la lista de puntos de intersección de las curvas. Puede suceder que las coordenadas obtenidas
representen un mismo punto
Ejemplo 18 Dadas las ecuaciones polares:
½
r = 3
r = 4 cos (θ)
1. Determine los puntos de intersección de las ecuaciones polares.
(a) El polo no está en la intersección, ya que r = 0 no satisface la primera ecuación.
(b) Ecuaciones equivalentes a las dadas:
Valor de n Primera ecuación Segunda ecuación
n = 0 r = 3 r = 4 cos (θ)
n = 1 −r = 3
−r = 4 cos (θ +π)
r = 4 cos (θ)
n = 2 r = 3
(c) Combinando estás ecuaciones, se obtienen los sistemas:
(1)
½
r = 3
r = 4 cos (θ)
y (2)
½
r = −3
r = 4 cos (θ)
En (1) , igualado las ecuaciones: 3 = 4 cos (θ) =⇒ cos (θ) =
3
4
=⇒ θ ≈ 41.4

un punto
en intersección tiene coordenadas (3, 41.4

) . Del mismo modo en (2) obtenemos que otro
punto en la intersección tiene coordenadas (−3, 138.6

) .
(d) Los puntos de intersección son: (3, 41.4

) , (−3, 138.6

)
19
Geometría Análitica, UCR Giovanni Sanabria
2. Trazar cada uno de los pares de gráficas con el mismo polo y eje polar. R/
-3 -2 -1 1 2 3 4
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
Ejemplo 19 Dadas las ecuaciones polares:
½
r = 3 cos (3θ)
r = −3 cos (θ)
1. Determine los puntos de intersección de estás ecuaciones polares.R/
Ã

3

2
2
, 45

!
;
¡
3
2

2, 135

¢
Determine los puntos de intersección de estás ecuaciones polares. El polo está en la intersec-
ción, ya que si r = 0, θ =
¡
90
3
¢◦
para la primera ecuación y θ = 0

para la segunda. Ecuaciones
equivalentes a las dadas:
Valor de n Primera ecuación Segunda ecuación
n = 0 r = 3 cos (3θ) r = −3 cos (θ)
n = 1
−r = 3 cos (3θ + 3π)
r = 3 cos (3θ)
−r = −3 cos (θ +π)
r = −3 cos (θ)
Por lo tanto para n = 1, se obtienen las ecuaciones originales. Así, se debe resolver solo
un sistema:
½
r = 3 cos (3θ)
r = −3 cos (θ)
. Igualando estas ecuaciones se obtiene cos (3θ) + cos (θ) = 0,
que es equivalente a 0 = cos (2θ +θ) + cos (2θ −θ) = 2 cos 2θ cos θ. Esta última expresión, se
cumple si cos θ = 0 o cos 2θ = 0. En la primera ecuación, note que si cos θ = 0 =⇒ r = 0,
y se obtiene el polo como punto de intersección, que ya se conocía. Si cos 2θ = 0 =⇒ 2θ =
90

o 2θ = 270

, de donde se obtiene respectivamente los siguientes puntos de intersección:
Ã

3

2
2
, 45

!
;
¡
3
2

2, 135

¢
.
20
Geometría Análitica, UCR Giovanni Sanabria
2. Trace las gráficas de estas ecuaciones con un mismo polo y eje polar. R/
2
2
3. Pase la primera ecuación a su forma rectangular.
Se tiene que
r = 3 cos (3θ) = 3 [cos (2θ) cos θ −sin(2θ) sinθ]
= 3
£¡
cos
2
θ −sin
2
θ
¢
cos θ −2 sin
2
θ cos θ
¤
,
que es equvalente a r = cos
3
θ −3 sin
2
θ cos θ Por lo tanto, su forma rectangular es
±
p
x
2
+y
2
= 3


Ã
x
±
p
x
2
+y
2
!
3

Ã
y
±
p
x
2
+y
2
!
2
Ã
x
±
p
x
2
+y
2
!


,
que es equivalente a
¡
x
2
+y
2
¢
2
= 3
¡
x
3
−y
2
x
¢
.
Ejercicio 10 Dadas las ecuaciones polares:
½
r = 2 sen(2θ)
r = cos (θ)
Determine los puntos de intersección de estás ecuaciones polares. R/ polo,
³

3
2
, 30

´
,
³


3
2
, 150

´
21
Geometría Análitica, UCR Giovanni Sanabria
1.7 Distancia entre puntos
Teorema 3 La distancia entre los puntos P (r
1
, θ
2
) y Q(r
2
, θ
2
) es
d (P, Q) =
q
r
2
1
+r
2
2
−2r
1
r
2
cos (θ
1
−θ
2
)
r
2
r
1
θ
1
- θ
2
θ
2
θ
1
P
Q
Prueba. Se obtiene por Ley de Cosenos. ¥
Ejemplo 20 Determine la distancia entre los puntos (4, 30

) ,
³
−2,
π
2
´
.
La distancia es d =
r
4
2
+ (−2)
2
−2 · 4 · −2 cos
³
π
6

π
2
´
= 2

7
Ejercicio 11 Determine la distancia entre los puntos (r, θ) y
³
−r, θ +
π
2
´
. R/

2 |r| .
Ejemplo 21 Demostrar que el perímetro de un triángulo cuyo lado esta en el eje polar y uno de sus
vértices coincide con el polo es
P = r
1
+r
2
+
q
r
2
1
+r
2
2
−2r
1
r
2
cos θ.
Donde r
1
> 0 es la primera coordenada polar del vértice en el eje polar que no coincide con el polo y
(r
2
, θ) son las coordenadas polares del vértice que está en el eje polar con r
2
> 0.
Los vértices del triangulo son A(0, 0) , B(r
1
, 0) , C (r
2
, 0) y el perímetro es
P = d (A, B) +d (A, C) +d (B, C) = r
1
+r
2
+
q
r
2
1
+r
2
2
−2r
1
r
2
cos θ.
Ejercicio 12 Demostrar que el área del triángulo de vértices el polo y los puntos (r
1
, θ
1
) y (r
2
, θ
2
) es
A =
¯
¯
¯
¯
r
1
r
2
sen(θ
1
−θ
2
)
2
¯
¯
¯
¯
22
Geometría Análitica, UCR Giovanni Sanabria
1.8 Ecuación polar de la recta
Si la recta pasa por el polo, entonces queda determinada por el ángulo α que forma con el eje polar,
por lo tanto su ecuación es
θ = α, con 0 ≤ α < 180

Eje Polar
α
Si la recta no pasa por el polo, sabemos que la ecuación de una recta se puede escribir de la forma
xcos w +y senw −p = 0
donde p es la distancia de la recta al origen y w es el ángulo formado del eje X a la normal a la recta.
Pasando esta ecuación a coordenadas polares se tiene que
r cos θ cos w +r senθ senw −p = 0
=⇒ r (cos θ cos w + senθ senw) = p
=⇒ r cos (θ −w) = p
Así se tiene el siguiente teorema. El punto en coordenadas polares (p, w) se llama par principal de
la recta.
Teorema 4 Si (p, w) es el par principal de la recta, la ecuación polar de la recta es
r cos (θ −w) = p
Teorema 5 La ecuación polar de la recta que es perpendicular al eje polar y está a p unidades del
polo, es de la forma
r cos θ = ±p.
donde el signo es: positivo si la recta está a la derecha del polo, y negativo si la recta está a la izquierda
del polo
Prueba. Ejercicio. ¥
Teorema 6 La ecuación polar de la recta que es paralela al eje polar y está a p unidades del polo, es
de la forma
r senθ = ±p.
donde el signo es: positivo si la recta está arriba del polo, y negativo si la recta está abajo del polo.
Prueba. Ejercicio. ¥
23
Geometría Análitica, UCR Giovanni Sanabria
Ejemplo 22 Halle la ecuación polar de la recta L que pasa por el punto Q
³
6,
π
3
´
y forma un ángulo
de 150

con el eje polar. R/ r cos
³
θ −
π
3
´
= 6.
Note que en el dibujo que m∠OPQ = 30

y m∠PQO =
π
3
= 60

, por lo tanto m∠PQO = 90

, por
lo tanto Q es el pie de la perpendicular trazada desde el polo a la recta, por lo tanto la ecuación de la
recta es r cos
³
θ −
π
3
´
= 6.
5
10
P
60°
150°
Q
O
Ejemplo 23 Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P (4, 45

) y es paralela al eje polar.
R/ r sin(θ) = 2

2.
Por ser paralela al eje polar, la ecuación es de la forma r sin(θ) = ±p, donde p es la distancia de la
recta al polo. Como esta recta pasa por el punto P, entonces la ecuación es de la forma. r sin(θ) = p.
Además el punto P debe cumplir la ecuación, es decir: 4 sin(45

) = p =⇒ p = 2

2. La ecuación
buscada es r sin(θ) = 2

2.
Ejercicio 13 Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P
³
−6,
π
3
´
y es perpendicular al
eje polar. R/ r cos θ = −3
1.9 Ecuación polar de la circunferencia
Teorema 7 La ecuación polar de la circunferencia de centro C (c, α) y radio b es
r
2
−2cr cos (θ −α) +c
2
= b
2
Además, si
1. el centro C es el polo, su ecuación es
r = α
2. pasa por el polo y su centro se encuentra en el eje polar, su ecuación es de la forma
r = ±2b cos θ
donde el signo es: positivo si el centro está a la derecha del polo, y negativo si el centro está a
la izquierda del polo.
24
Geometría Análitica, UCR Giovanni Sanabria
3. pasa por el polo y su centro se encuentra en el eje a 90

, su ecuación es de la forma
r = ±2b senθ
donde el signo es: positivo si el centro está arriba del polo, y negativo si el centro está abajo del
polo.
Prueba. Sea P (r, θ) un punto cualquiera en la curva, entonces
d (P, C) = b

p
r
2
+c
2
−2rc cos (θ
1
−α) = b
⇔ r
2
−2cr cos (θ −α) +c
2
= b
2
Queda de ejercicio los casos particulares. ¥
Ejemplo 24 Considere el punto C (−5, 330

) y la recta L : r sinθ = 9.
1. Gráfique en un mismo polo y eje polar el punto C y la recta L.
Note que L es una recta paralela al eje polar que pasa a 9 unidades arriba del polo.
10
C
2. Determine la distancia entre el punto C y la recta L.
La distancia de C a L es la diferencia entre la coordenada Y de C y L :
9 −−5 sin330

=
13
2
.
3. Halle la ecuación circunferencia de centro C y tangente a la recta L.
La circunferencia tiene centro C y radio
13
2
, su ecuación es r
2
+10r cos (θ −330

)+25 =
µ
13
2

2
,
es decir r
2
+ 10r cos (θ −330

) =
69
4
Ejemplo 25 Hallar la ecuación polar de la circunferencia de centro C
³
4,
π
6
´
y que pasa por el
polo. R/ r
2
= 8r cos (θ −30

)
Como el radio es 4, la ecuación buscada es r
2
−8r cos (θ −30

) + 16 = 16 de donde
r
2
= 8r cos (θ −30

)
Ejercicio 14 Hallar la ecuación de la circunferencia de centro C (6, 120

) y que pasa por el eje de
90

. R/ r
2
+ 10r cos (θ −30

) + 27 = 0
25
Geometría Análitica, UCR Giovanni Sanabria
1.10 Las cónicas en coordenadas polares
Teorema 8 Considere la cónica de excentricidad e cuyo foco está en el polo a p > 0 unidades de la
respectiva directriz.
1. Si el eje focal coincide con el eje polar, la ecuación de la cónica es
r =
ep
1 ±e cos θ
donde el signo es: positivo si la directriz está a la derecha del polo, y negativo si la directriz está
a la izquierda del polo.
2. Si el eje focal coincide con el eje a 90

, la ecuación de la cónica es
r =
ep
1 ±e senθ
donde el signo es: positivo si la directriz está arriba del polo, y negativo si la directriz está abajo
del polo.
Prueba. Se demostrará (1) . La (2) se deja de ejercicio. Sea O(0, 0

) el polo, y considere un punto
P (r, θ) cualquiera de la cónica. Suponga que la directriz está a la izquierda del polo. Sea B y C
los pies de las perpendiculares al eje polar y al eje a 90

respectivamente:
2
θ
r
Directriz
B
C
D O
P
Note que OP = r, además
PC = DB = DO +OB = p +r cos θ
además, por definición de cónica se tiene que
OP
PC
= e =⇒
r
p +r cos θ
= e =⇒r =
ep
1 −e cos θ
Similarmente, si la directriz se encuentra a la derecha del polo, se obtiene r =
ep
1 +e cos θ
. ¥
26
Geometría Análitica, UCR Giovanni Sanabria
Ejemplo 26 Dada la cónica definida por la ecuación r =
6
3 + 2 cos (θ)
, hallar su excentricidad y la
ecuación polar de la directriz. Identificar la cónica y hacer un dibujo.
Dividiendo el numerador y denominador del segundo miembro entre 3 obtenemos: r =
2
1 +
2 cos (θ)
3
,
de la cual se deduce que e =
2
3
< 1 =⇒ la cónica es un elipse. Como ep = 2 =⇒ p = 3. La directriz
tiene como ecuación
r cos (θ) = 3
y se encuentra a la derecha del polo. Como el eje focal coincide con el eje polar sustituyendo θ =
0

, 180

, se obtienen las coordenadas del vértice del elipse: V
1
=
µ
6
5
, 0


, V
2
= (6, 180

) = (−6, 0

) .
El centro es



6
5
+−6
2
, 0



⎠ =
µ
−24
5
, 0


. El valor de a es
d (V
1
, V
2
)
2
=
36
10
, y como para θ = 90

se
tiene que r = 2, por lo tanto el lado recto es
2b
2
a
= 4 =⇒ b =
6

5
. Así la gráfica del elipse es:
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1
-2
-1
1
2
x
y
Ejemplo 27 Considere la cónica definida por la ecuación r =
24
2 −4 sin(θ)
.
1. Halle su excentricidad, la ecuación polar de la directriz e. identifique la cónica.
Dividiendo el numerador y denominador del segundo miembro entre 2 se obtiene: r =
12
1 −2 sin(θ)
,
de la cual se deduce que e = 2 > 1 =⇒ la cónica es una hiperbola. Como ep = 12 =⇒p = 6, por
lo que la directriz tiene como ecuación r sin(θ) = −6 y se encuentra abajo del eje polar.
2. Realice un dibujo detallado de esta cónica.
Como el eje focal coincide con el eje de 90

, sustituyendo θ = 90

, 270

, se obtienen las co-
ordenadas de los vértices de la elipse: V
1
= (−12, 90

) = (12, 270

) , V
2
= (4, 270

) . El cen-
tro es
µ
12 + 4
2
, 270


= (8, 270

) Finalmente se averiguan las constantes a y b. El valor de
27
Geometría Análitica, UCR Giovanni Sanabria
a es
d (V
1
, V
2
)
2
=
8
2
= 4. Como la longitud del segmento perpendicular al eje 90

que con-
tiene al polo, cuyos extremos están en la hipérbola es
2b
2
a
= 2r.cuando θ = 0

, por lo tanto
2b
2
a
= 2 · 12 =⇒b = 4

3. Así la gráfica de la hipérbola es:
20
10
-10
-20
Ejemplo 28 Considere una circunferencia de diámetro AB y radio 3. Sea t la tangente a la circun-
ferencia por B, y s una secante cualquiera por A que interseca nuevamente a la circunferencia en C y
a la tangente en D. Sea E el pie de perpendicular al eje polar por C. Halle la ecuación polar del lugar
geométrico del punto P de s que satisface que AP = CE para toda posición de s. R/ r = 3 sen(2θ)
Coloquemos el eje polar de forma que A sea el polo y B pertenezca al eje polar, sea P (r, θ) un punto
cualquiera del lugar geométrico:
t
s
P
E
D
C
B A
Note que AP = r. Note que el ∆ABC es recto en C, por lo tanto
AC = 6 cos θ
28
Geometría Análitica, UCR Giovanni Sanabria
Luego ∆ACE es recto en E, por lo tanto
CE = AC senθ = 6 cos θ senθ = 3 sen(2θ)
y como |AP| = |CE| , la ecuación del lugar geométrico es
r = 3 sen(2θ)
Ejercicio 15 Halle la ecuación polar de la cónica con foco se encuentra en el polo, tiene excentricidad
e = 3 y directriz r cos θ = −2. R/ r =
5
1 −3 cos θ
Ejercicio 16 Considere la cónica definida por la ecuación r =
5
1 −cos θ
.
1. Halle su excentricidad, la ecuación polar de la directriz e. identifique la cónica. R/ e =
1, r cos θ = 5
2. Realice un dibujo detallado de esta cónica (Deben aparecer todos los cálculos necesarios para
obtener el dibujo). R/ Vértice V
µ
5
2
, π

, corta al eje a 90

en (5, 90

) y (5, 270

) .
2 Ecuaciones paramétricas
2.1 Determinación de las ecuaciones paramétricas
El objetivo de esta sección es expresar una curvar por medio de un par de ecuaciones. Por ejemplo,
la ecuación de la circunferencia de radio 1 es
x
2
+y
2
= 1
sin embargo está se puede representan mediante las ecuaciones
½
x = cos θ
y = senθ
, con 0

≤ θ < 360

.
En general, dada una curva plana C cuya ecuación en coordenadas rectangulares es
F (x, y) = 0 (1) ,
nuestro objetivo es hallar dos funciones f y g, tales que las ecuaciones
½
x = f (t)
y = g (t)
, t ∈ D (2)
brinde las coordenadas de un punto (x, y) de C para cada valor de t, y para cada punto P (x
0
, y
0
) de
C existe un t
0
∈ D tal que (x
0
, y
0
) = (f (t
0
) , g (t
0
)) . Se dice que las ecuaciones (2) representan a la
curva C, y se llaman ecuaciones paramétricas de C. La variable t recibe el nombre de parámetro
y D es el dominio de t.
29
Geometría Análitica, UCR Giovanni Sanabria
Ejemplo 29 Determine las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por A(2, 3) y B(1, 5) .
Por Álgebra Lineal, se tiene que la ecuación de la recta es
X = A+t (B −A) , t ∈ R
Sustituyendo X = (x, y) , A y B se obtiene que
(x, y) = (2, 3) +t ((1, 5) −(2, 3)) = (2, 3) +t (−1, 2) = (2 −t, 3 + 2t)
Por lo tanto, las ecuaciones paramétricas de la recta son
½
x = 2 −t
y = 3 + 2t
, t ∈ R
Otra forma es ver que la ecuiación rectángular de la recta es y = −2x + 7 entonces otras maneras de
parametrizar la recta son
½
x = t
y = −2t + 7
, t ∈ R
½
x = t −3
y = −2t + 1
, t ∈ R
Ejercicio 17 Exprese la curva dada por x + (y −1)
2
= 5 en forma paramétrica R/
½
x = 5 −t
2
y = 1 +t
2.2 Ecuación rectangular de una curva dada por sus ecuaciones paramétri-
cas
El objetivo es unir las dos ecuaciones paramétricas en una sola que no involucre el parámetro. No hay
ningún método para hallar la ecuación rectangular de una curva dada por sus ecuaciones paramétricas.
Algunas recomendaciones son:
1. Si las ecuaciones paramétricas son algebraicas, quizás es posible despejar el parámetro de ambas
ecuaciones e igualar las expresiones obtenidas. O despejar el parámetro de una de las ecuaciones
y sustituirlo en la otra ecuación.
2. Si las ecuaciones paramétricas involucran funciones trigonométricas, se puede hacer uso de las
identidades trigonométricas.
Ejemplo 30 Para las siguientes curvas de ecuaciones paramétricas
½
x = 3 cos (θ) + 2
y = 2 sin(θ) −3
,
obtenga la ecuación rectangular e identifique la curva.
Note que
µ
x −2
3

2
= cos
2
θ y
µ
y + 3
2

2
= sin
2
θ, por lo tanto
µ
x −2
3

2
+
µ
y + 3
2

2
= 1 que es la
ecuación de una elipse.
30
Geometría Análitica, UCR Giovanni Sanabria
Ejemplo 31 Para la siguiente curva de ecuaciones paramétricas
½
x = 5 sinθ + 2
y = 2 cos (2θ) −6
,
obtenga la ecuación rectangular e indique el tipo de curva que representa dicha ecuación.
Note que
µ
x −2
5

2
= sin
2
θ y
y + 6
2
= cos 2θ, como sin
2
θ =
1 −cos 2θ
2
entonces
µ
x −2
5

2
=
2 −(y + 6)
4
µ
x −2
5

2
=
2 −(y + 6)
4
por lo tanto la ecuación rectangular es
µ
x −2
5

2
=
−y −4
4
y representa una parábola.
Ejemplo 32 Hallar la ecuación rectangular de la curva cuya ecuación paramétricas son





x =
t
1 −t
−1
y =
1 −2t
(1 −t)
2
Note que (x + 1)
2
+y =
t
2
−2t + 1
(1 −t)
2
=
(1 −t)
2
(1 −t)
2
, por lo tanto la ecuación buscada es (x + 1)
2
+y = 1
Ejercicio 18 Hallar la ecuación rectangular de la curva cuya ecuación paramétricas son R/ 9y =
x
2
−4x −5
½
x = 3t −1
y = t
2
−2t
2.3 Gráfica de una curva a partir de sus ecuacione paramétricas
2.3.1 Gráfica “a mano”
Para trazar la gráfica de una curva a partir de sus ecuaciones paramétricas se obtiene las coordenadas
de algunos puntos asignándoles distintos valores al parámetro.
Ejemplo 33 Trace la curva de ecuaciones paramétricas
½
x = 3 cos
3
θ
y = 2 senθ
, 0 ≤ θ ≤ 2π
31
Geometría Análitica, UCR Giovanni Sanabria
Algunos puntos de la curva son
θ cos θ senθ x = 3 cos
3
θ y = 2 senθ
0 1 0 3 0
π
6

3
2
1
2
9

3
8
≈ 1. 95
1
4
= 0.25
π
4

2
2

2
2
3

2
4
≈ 1. 06

2
2
≈ 0.71
π
3
1
2

3
2
3
8
= 0.375
3

3
4
≈ 1.3
π
2
0 1 0 1

4


2
2

2
2
−3

2
4
≈ −1. 06

2
2
≈ 0.71
θ cos θ senθ x = 3 cos
3
θ y = 2 senθ
π −1 0 −3 0

4


2
2


2
2
−3

2
4
≈ −1. 06


2
2
≈ −0.71

2
0 −1 0 −2

4

2
2


2
2
3

2
4
≈ 1. 06


2
2
≈ −0.71
2π 1 0 3 0
A partir de estos puntos se intuye la forma de gráfica.
2.3.2 Gráfica en Geogebra
Recuerde que para gráfica la curva de ecuaciones paramétricas
½
x = f (t)
y = g (t)
, a ≤ t ≤ b
en Geogebra, se escribe en la entrada:
Curva[f (t) , g (t) , t, a, b]
Ejemplo 34 La curva dada por
½
x = 3 cos
3
θ
y = 2 senθ
, 0 ≤ θ ≤ 2π
se grafica en Geogebra escribiendo
Curva[3 (cos(t))
3
, 2 (sin(t))
3
, t, 0, 2 π]
32
Geometría Análitica, UCR Giovanni Sanabria
2.4 Representación paramétrica de las cónicas
Considere la ecuación ordinaria de la parábola cuyo eje focal es paralelo al eje X :
(y −k)
2
= 4p (x −h)
Si tomamos y −k = 2pt entonces x −h = pt
2
, por lo tanto una forma de parametrizar está parábola
es
½
x = h +pt
2
y = k + 2pt
, t ∈ R.
Teorema 9 La parábola de vértice (h, k) y eje focal al eje X ó al eje Y, se puede representar paramétri-
camente por
Eje focal paralelo al eje X :
½
x = h +pt
2
y = k + 2pt
, t ∈ R.
Eje focal paralelo al eje Y :
½
x = h + 2pt
y = k +pt
2
, t ∈ R.
Ejemplo 35 Un cometa se mueve de modo que sus ecuaciones paramétricas están dadas por





x =
at
2t −1
+ 2
y =
−9t
2
1 −4t + 4t
2
+ 1
, con a constante, t ∈ R
1. Demostrar que el cometa sigue una trayectoria parabólica con centro (2, 1) y directriz paralela al
eje X
Para ello hay que demostrar que todo punto (x, y) satisface la ecuación : (x −2)
2
= 4p (y −1) , .
basta probar que
(x −2)
2
y −1
es constante. Se tiene que
(x −2)
2
y −1
=
a
2
t
2
−9t
2
=
−a
2
9
, como a es
constante, se sigue que
−a
2
9
es constante.
2. Brindar una mejor parametrización de la trayectoria R/
½
x = 2 −2t
y = 1 −t
2
De 1) se tiene que 4p =
−a
2
9
= −4, de donde p = −1, la nueva paramétrización de la parábola
es
½
x = 2 −2t
y = 1 −t
2
, t ∈ R.
Considere la elipse de centro O
0
(h, k) y eje focal paralelo al eje X. Sabemos que la ecuación rectangular
de esta elipse es de la forma
(x −h)
2
a
2
+
(y −k)
2
b
2
= 1 con a > b.
Trace dos circunferencias C
1
y C
2
concéntricas de centro (h, k) y radios a y b respectivamente. Sea
l una recta cualquiera que pasa por O
0
. Esta recta interseca a C
1
en A y a C
2
en B. Sea P (x, y) el
33
Geometría Análitica, UCR Giovanni Sanabria
punto de intersección de la paralela al eje X por B y la paralela al eje Y por A. La recta AP interseca
a la recta y = k en C. Sea D la intersección de la recta paralela al eje Y por B y la recta y = k. Y
sea θ = m]BO
0
C.
θ
D
h
B
C
k
y
x
A
O'
P
Primero note que
O
0
B = b, DB = b cos θ
x = h +O
0
C = h +O
0
Acos θ = h +a cos θ
y = k +DB = k +O
0
Bsenθ = k +b senθ
Por lo tanto
½
x = h +a cos θ
y = k +b senθ
.
Hasta el momento hemos parametrizado el lugar geometríco dado por el punto P determinado por las
recta l (el ángulo θ), C
1
y C
2
. Falta ver que P es un punto de la elipse. Observe que
cos θ =
x −h
a
, senθ =
y −k
b
=⇒
(x −h)
2
a
2
+
(y −k)
2
b
2
= 1.
Por lo tanto P (x, y) es un punto de la elipse. Así las ecuaciones paramétricas del elipse son
½
x = h +a cos θ
y = k +b senθ
, 0 ≤ θ ≤ 2π.
Teorema 10 La elipse de centro (h, k) y eje focal paralelo al eje X ó al eje Y, se puede representar
paramétricamente por
Eje focal paralelo al eje X :
½
x = h +a cos θ
y = k +b senθ
, 0 ≤ θ ≤ 2π.
Eje focal paralelo al eje Y :
½
x = h +b cos θ
y = k +a senθ
, 0 ≤ θ ≤ 2π.
con a > b.
34
Geometría Análitica, UCR Giovanni Sanabria
Teorema 11 La hipérbola de centro (h, k) y eje focal paralelo al eje X ó al eje Y, se puede representar
paramétricamente por
Eje focal paralelo al eje X :
½
x = h +a sec θ
y = k +b tanθ
, 0 ≤ θ ≤ 2π.
Eje focal paralelo al eje Y :
½
x = h +b tanθ
y = k +a sec θ
, 0 ≤ θ ≤ 2π.
Ejemplo 36 Para la curva de ecuación rectangular x
2
−y
2
−4x−2y +1 = 0, obtenga las ecuaciones
paramétricas.
Completando cuadrados se obtiene que (x −2)
2
−(y + 1)
2
= 2 que representa una hipérbola centrada
en el vértice (2, −1) . Como sec
2
θ −tan
2
θ = 1, su forma parametrizarla es
½
x = 2 +

2 sec θ
y = −1 +

2 tanθ
.
Ejercicio 19 Considere la parábola centrada en el origen donde p = 4. y el eje focal coincide con el
eje Y.
1. Determine las ecuaciones paramétricas de la parábola R/
½
x = 8t
y = 4t
2
2. Dibuje la curva en Geogebra en coordenadas paramétricas y realice un pequeño programa que
permita verificar que al mover un punto P cualquiera de la cónica, la razón de su distancia a
un foco a su distancia a su respectiva directriz, es la excentricidad.
2.5 Curvas especiales
Definición 1 Una cicloide es el lugar geométrico descrito por un punto fijo de una circunferencia
que rueda, sin resbalar, sobre una recta fija.
Para hallar las ecuaciones paramétricas de la cicloide, suponga que la recta fija es el Eje X y inicial-
mente el punto fijo P coincide con el origen:
2
P
2
P
2
5
P
Sean P (x, y) un punto cualquiera del cicloide, b el radio y C el centro de la circunferencia que rueda.
Sea A y B los pies de las perpendiculares trazadas desde P y C al eje X respectivamente. Además
35
Geometría Análitica, UCR Giovanni Sanabria
θ = m]BCP, l la recta paralela al eje X por P, y D la intersección de l con la perpendicular al eje
X por C :
4
2
5
b
θ
D
A
P(x,y)
C
B
O
Note que OB es la distancia recorrida por lo tanto es igual a la medida del arco BP que es
OB = bθ
Observe que
x = OA = OB −AB = bθ −PD = bθ −b senθ,
y = AP = BC −CD = b −CD = b −b cos θ
Por lo tanto las ecuaciones paramétricas del cicloide son
½
x = bθ −b senθ
y = b −b cos θ
, θ ∈ R.
donde b es una constante correspondiente al radio de la circunferencia. En cada intervalo de la forma
2πn ≤ θ ≤ 2π (n + 1) , con n ∈ Z, genera un arco del cicloide cuyo punto medio es llamado el vértice
del arco.
Ejemplo 37 Utilizando Geogebra se puede obtener la gráfica de la cicloide con b = 1 escribiendo en
la entrada:
Curva[t −sin(t) , 1 −cos (t) , t, −4 π, 4 π]
Con geogebra se puede también hacer un programa que simule la construcción de la cicloide a partir
de su definición, utilizando un punto generador de la curva.
36
Geometría Análitica, UCR Giovanni Sanabria
Ejemplo 38 (Simulación del cicloide) Primero se crea el deslizador r que indicará el radio de la
circunferencia que rueda, y puede variar de 0 a 5. Luego se crea el deslizador d que indicará la distancia
recorrida por la circunferencia que rueda a partir del origen, y puede variar de 0 a 20. Inicialmente,
cuando d = 0, el centro de la circunferencia está sobre eje Y, pero si se ha recorrido d unidades
el centro tiene coordenadas C (d, r) . Así se escribe en la entrada el punto (d, r) para graficarlo y se
renombra C. Seguidamente se dibuja la circunferencia, para ello elija la herramienta “Circunferencia
dado su centro y radio”, seleccione el punto C y indique que el radio es r en la ventana emergente,
obteniendo:
Se debe hallar el punto P que genera el cicloide. Grafique el punto B : pie de la perpendicular
trazadas desde C al eje X, para ello basta indicar sus coordenadas en la Entrada: (d, 0) . De acuerdo
a la demostración anterior, note que
d = rθ =⇒θ =
d
r
donde θ = m]BCP por lo tanto:
1. Se define θ. Se escribe en la Entrada:
= d/r
2. Se halla el punto P. Se selecciona la herramienta “Rota objeto en torno a Punto, el Ángulo
indicado” y se selecciona el punto B (punto a rotar), luego el punto C (centro de rotación).
Finalmente en la ventana emergente se indica como ángulo de rotación el ángulo θ y se elige la
opción sentido horario.
3. El punto B
0
se renombra P.
4. Se dibuja el segmento CP y se pone de color rojo para resaltarlo.
37
Geometría Análitica, UCR Giovanni Sanabria
5. Se pone el radio r en 2 y se ocultan el punto B y algunas etiquetas si las hay, obteniendo:
6. Finalmente active el rastro de P y mueva el deslizador d :
Adicionalmente, se puede graficar el cicloide indicando en Entrada:
Curva[r t −r sin(t) , r −r cos (t) , t, 0, 20]
y observar que el rastro de P coincide con la curva.
La cicloide es un caso particular del trocoide.
Definición 2 Una trocloide es el lugar geométrico descrito por un punto fijo que se encuentra a c
unidades de una circunferencia de radio b que rueda, sin resbalar, sobre una recta fija.
Las ecuaciones paramétricas del trocloide (ejercicio) son
½
x = bθ −c senθ
y = b −c cos θ
, θ ∈ R.
38
Geometría Análitica, UCR Giovanni Sanabria
Ejemplo 39 Utilizando Geogebra se puede obtener la gráfica de la trocloide con b = 4 y c = 1
escribiendo en la entrada:
Curva[4 t −sin(t) , 4 −cos (t) , t, −4 π, 4 π]
Definición 3 Una epicicloide es el lugar geométrico descrito por un punto fijo de una circunferencia
que rueda exteriormente, sin resbalar, sobre una circunferencia fija.
Para hallar las ecuaciones paramétricas de la epicicloide suponga que: la circunferencia fija tiene su
centro en el origen y es de radio a, la circunferencia que rueda tiene centro C que varía y radio b.
Suponga que el punto P inicialmente se encuentra sobre el eje X:
P O C
P
O
C
Sean P (x, y) un punto cualquiera del epicicloide pero fijo. Sea A el punto de intersección de las
circunferencias. Sean B y D los pies de las perpendiculares trazadas desde C y P al eje X respecti-
vamente. E es la intersección de
−−→
OD y la circunferencia fija. Además θ = m]COD, α = m]OCP,
β = m]BCP, y F es el pie de la perpendicular desde P a
←→
CD :
b
a
θ
E
F
D B
P(x,y)
A
O
C
39
Geometría Análitica, UCR Giovanni Sanabria
Note que
m(arco (EA)) = m(arco (AP)) =⇒aθ = b · m]ACP = bα
entonces
β = α −m]OCB = α −
³
π
2
−θ
´
= α +θ −
π
2
= θ +
a
b
θ −
π
2
=
a +b
b
θ −
π
2
De donde se obtiene que
cos β = cos
µ
a +b
b
θ −
π
2

= sin
µ
a +b
b
θ

sinβ = sin
µ
a +b
b
θ −
π
2

= −cos
µ
a +b
b
θ

Por otro lado,
x = OB +BD = OB +FP = OC cos θ +CP senβ = (a +b) cos θ −b cos
µ
a +b
b
θ

y = BF = BC −CF = OC senθ −CP cos β = (a +b) senθ −b sen
µ
a +b
b
θ

Por lo tanto, las ecuaciones paramétricas del epicicloide son:









x = (a +b) cos θ −b cos
µ
a +b
b
θ

y = (a +b) senθ −b sen
µ
a +b
b
θ
¶ , θ ∈ [0, 2π] .
Ejemplo 40 Utilizando Geogebra se puede obtener la gráfica de la epicicloide con a = 4 y b = 1
escribiendo en la entrada:
Curva[5 cos(t) −cos (5 t) , 5 sin(t) −sin(5 t) , t, 0, 2 π]
40
Geometría Análitica, UCR Giovanni Sanabria
Si a = b se obtiene un epicicloide de un pico, llamado cardiode, el cuál se estudio anteriormente.
Definición 4 Una hipocicloide es el lugar geométrico descrito por un punto fijo de una circunfer-
encia que rueda interiormente, sin resbalar, sobre una circunferencia fija.
Si la circunferencia fija tiene radio a y su centro corresponde al origen, y la circunferencia que rueda
tiene radio b, las ecuaciones paramétricas del hipocicloide (ejercicio) son:









x = (a −b) cos θ +b cos
µ
a −b
b
θ

y = (a −b) senθ −b sen
µ
a −b
b
θ
¶ , θ ∈ [0, 2π] .
Ejemplo 41 Utilizando Geogebra se puede obtener la gráfica de la hipocicloide con a = 4 y b = 1
escribiendo en la entrada:
Curva[3 cos(t) + cos (3 t) , 3 sin(t) −sin(3 t) , t, 0, 2 π]
Definición 5 Dado un punto fijo Q y una curva C, la podaría de la curva C con respecto a Q es
el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas desde Q a las tangentes a C
Ejemplo 42 Hallar la ecuación de la podaría al elipse b
2
x
2
+ a
2
y
2
= a
2
b
2
con respecto a su centro.
Sugerencia: Las ecuaciones de las tangentes de pendiente m a la elipse
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1 son y = mx ±

a
2
m
2
+b
2
R/
¡
x
2
+y
2
¢
2
= a
2
x
2
+b
2
y
2
Sea P (x, y) un punto de la podaría cualquiera. Sea O el origen (centro del elipse) y m la pendiente
de la tangente del elipse, entonces la ecuación de la tangente es
y = mx ±
p
a
2
m
2
+b
2
(1)
Por lo tanto la ecuación de
←→
OP es
y =
−1
m
x (2)
41
Geometría Análitica, UCR Giovanni Sanabria
Por lo tanto las coordenadas de P están dadas por la intersección de (1) y (2) :
−1
m
x = mx ±
p
a
2
m
2
+b
2
=⇒x =
±m

a
2
m
2
+b
2
m
2
+ 1
y entonces
y =


a
2
m
2
+b
2
m
2
+ 1
Por lo tanto las ecuaciones paramétricas de la podaría del elipse son









x =
±m

a
2
m
2
+b
2
m
2
+ 1
y =


a
2
m
2
+b
2
m
2
+ 1
, m ∈ R.
de donde
x
2
+y
2
=
Ã

a
2
m
2
+b
2
m
2
+ 1
!
2
¡
m
2
+ 1
¢
=
a
2
m
2
+b
2
m
2
+ 1
a
2
x
2
+b
2
y
2
=
Ã

a
2
m
2
+b
2
m
2
+ 1
!
2
¡
a
2
m
2
+b
2
¢
=
µ
a
2
m
2
+b
2
m
2
+ 1

2
Por lo tanto, la ecuación rectangular de la podaría del elipse es
¡
x
2
+y
2
¢
2
= a
2
x
2
+b
2
y
2
42
Geometría Análitica, UCR Giovanni Sanabria
3 Ejercicios
1. Demuestre que la ecuación polar de la recta que pasa por los puntos P (r
1
, θ
2
) y Q(r
2
, θ
2
) es
r
1
r sen(θ
1
−θ) +r
2
r sen(θ −θ
2
) = r
1
r
2
sen(θ
1
−θ
2
)
Sugerencia: Sea R un punto cualquiera de la recta, compare las áreas de los tríangulos ∆OPQ,
∆OPR y ∆OQR.
2. Describa utilizando Geogebra y definiendo definiendo parámetros, las gráficas de las siguientes
curvas
(a) Epicicloide con a = 3b
(b) Hipocicloide con a = 4b
(c) Hipocicloide con a = 2b
3. Dada la cónica definida por la ecuación r =
6
3 −6 sin(θ)
(a) Hallar su excentricidad, la ecuación polar de la directriz e identificar la cónica. R/ e = 2,
r sin(θ) = −1
(b) Halle la ecuación polar de las asíntotas a la curva
(c) (“A MANO”) Realice un dibujo detallado de esta cónica (Deben aparecer todos los cálculos
necesarios para obtener el dibujo). R/ a =
2
3
, b =
r
4
3
(d) (“EN GEOGEBRA”) Dibuje la curva, las asíntotas y la directriz a partir de su ecuación
polar. Finalmente realice un pequeño programa que permita verificar que al mover un
punto P cualquiera de la cónica, la razón de su distancia a un foco a su distancia a su
respectiva directriz, es la excentricidad.
4. Considere las curvas dadas por las ecuaciones poloares
½
r = 2
r = 4 cos (3θ)
(a) Determine los puntos de intersección de las curvas.
R/ (2, 20

) ; (2, 140

) ; (2, 260

) ; (2, 100

) ; (2, 220

) ; (2, 330

)
(b) Trace en Geogebra las gráficas de estas curvas con un mismo polo y eje polar. Además
identifique los puntos de intersección.
5. Para cada una de las curvas: trocloide, epicicloide, hipocicloide, realice en Geogebra lo siguiente:
(a) Defina los parámetros que utiliza la curva por medio de deslizadores
(b) Un programa que simule la construcción del lugar geometríco a partir del rastro que deja
un punto P.
(c) La gráfica de la curva a partir de sus ecuaciones paramétricas.
43
Geometría Análitica, UCR Giovanni Sanabria
6. Dada la cónica definida por la ecuación r =
6
3 + 4 cos (θ)
, hallar su excentricidad y la ecuación
polar de la directriz. Identificar la cónica y hacer un dibujo de la curva. Para realizar el dibujo,
debe averiguar el centro, los vértices, el a y el b. R/ e =
4
3
< 1, r cos (θ) =
3
2
, a =
18
7
y
b =
6

5
.
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-6
-4
-2
2
4
x
y
7. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro C (−5, 30

) y que es tangente al eje a 90

.R/ r
2
+
10r cos (θ −30

) +
25
4
= 0.
8. Dadas las ecuaciones polares:
½
r = 2 cos (2θ)
r = 3 cos (θ)
(a) Determine aproximadamente los puntos de intersección de estás ecuaciones polares.(Sugerencia:
Recuerde que cos (2θ) = 2 cos
2
(θ) −1). R/ polo, (−1.28; 115.18

) , (1.28, 64.82

)
(b) Trace las gráficas de estas ecuaciones con un mismo polo y eje polar. Para la primer curva
debe hallar las intersecciones con el eje polar y con el eje a 90

, y determinar si es simétrica
con respecto: al eje polar, al eje a 90

y al polo.(Sugerencia: r = cos (2θ) es una rosa y
r = 3 cos (θ) es una circunferencia). R/
-2 -1 1 2 3
-2
-1
1
2
x
y
(c) Pase la segunda ecuación a su forma rectángular. R/
x
2
+y
2
=
4
¡
x
2
−y
2
¢
2
(x
2
+y
2
)
2
, x
2
+y
2
= 3x.
44
Geometría Análitica, UCR Giovanni Sanabria
9. Hallar la ecuación rectangular de la curva cuya ecuación paramétricas son
½
x = sinθ + 1
y = tan
2
θ + 3
con sinθ 6= −1. R/ y =
(x −1)
2
1 −(x −1)
2
10. Para la curva de ecuación rectangular x
2
−4x+y
2
−5 = 0, obtenga las ecuaciones paramétricas.
R/
½
x = 2 + 3 cos θ
y = 3 sinθ
11. Una partícula se mueve de modo que sus ecuaciones paramétricas están dadas por





x =
4t
t
2
+ 4
−3
y =
t
2
−4
t
2
+ 4
+ 2
, t ∈ R
Demostrar que la particula se mueve en una circunferencia de radio 1 con centro (−3, 2) .
12. Demuestre que la ecuación polar de una circunferencia que pasa por el polo es de la forma
r = k
1
cos θ +k
2
sinθ
donde k
1
y k
2
son constantes.
13. Realice un programa en Geogebra que grafique la rosa r = a sen(nθ) con parámetro n.
14. Realice las siguientes herramientas en Geogebra
(a) ppolar[r,θ]. Grafica el punto P (r, θ)
(b) polrect[r
1
, θ
2
, r
2
, θ
2
]. Grafica la recta que pasa por los puntos en coordenadas polares
P (r
1
, θ
2
) y Q(r
2
, θ
2
) .
(c) conica[e,p] Grafica la cónica r =
ep
1 + cos θ
.
(d) Hiperb[a, b]. Grafica: la hiperbola
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1, la caja y sus diagonales, los focos y las
directrices.
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